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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 289 — #295
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3.13 Distribuci´ on normal 289

2
c) VarpXq“ σ .
2
415. Encuentre la moda y mediana de la distribuci´on Npµ, σ q.
2
416. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Npµ, σ q.De-
muestre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on
que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades encuentre
nuevamente la media y la varianza de esta distribuci´on.
1
2 2
Mptq“ expt µt ` σ t u.
2
417. Momentos de la distribuci´on normal centrada. Sea X una va-
2
riable aleatoria con distribuci´on Np0, σ q.Demuestreque
$ ˆ ˙ n{2
n! σ 2
’
& si n es par,
n
EpX q“ pn{2q! 2
’
0 si n es impar.
%
418. Suma. Sean X 1 y X 2 dos variables aleatorias independientes con dis-
2
2
tribuci´on Npµ 1 , σ q yNpµ 2 , σ q. Use la funci´on generadora de momen-
2
1
tos para demostrar que
2
2
X 1 ` X 2 „ Npµ 1 ` µ 2 , σ ` σ q.
1
2
419. Estandarizaci´on. Calculando primero la funci´on de distribuci´on y
despu´es derivando para encontrar la funci´on de densidad, o bien usan-
do la f.g.m., demuestre los siguientes dos resultados.
2
a)Si X „ Npµ, σ q entonces Z “pX ´ µq{σ „ Np0, 1q.
2
b)Si Z „ Np0, 1q entonces X “ µ ` σZ „ Npµ, σ q.
420. Sean a ă b dos constantes positivas y sea Z una variable aleatoria con
distribuci´on normal est´andar. Demuestre que
? ?
2
Ppa ă Z ă bq“ 2 pΦp bq´ Φp aqq.
421. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Np5, 10q. Obtenga las
siguientes probabilidades en t´erminos de la funci´on Φpxq.

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