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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 285 — #291
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3.13 Distribuci´ on normal 285

variable y “px ´ µq{σ en la integral,

ż b 1 2 2
Pp a ă X ă b q“ ? e ´px´µq {2σ dx
a 2πσ 2
pb´µq{σ 1 2
ż
“ ? e ´y {2 dy
pa´µq{σ 2π
a ´ µ b ´ µ
“ Pp ă Z ă q.
σ σ
A partir de ahora, y a menos de que se diga lo contrario, usaremos la letra
Z para denotar a una variable aleatoria con distribuci´on normal est´andar.

Funci´on de distribuci´on y de densidad Np0, 1q
Es com´un denotar a la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria
normal est´andar como Φpxq, y a la funci´on de densidad como φpxq,es decir,

Notaci´on.

1 2 ż x
φpxq“ ? e ´x {2 , Φpxq“ φpuq du, ´8 ă x ă 8.
2π ´8

El significado geom´etrico de Φpxq se muestra en la Figura 3.20 (a). Co-
mo hemos mencionado antes, no es posible resolver esta integral y para
evaluar Φpxq se usan m´etodos num´ericos. Aunque en el paquete R pueden
encontrarse estos valores con el comando pnorm(x,0,1), en la parte final
del texto aparece tambi´en una tabla con estos valores aproximados. Cada
rengl´on de esta tabla corresponde a un valor de x hasta el primer d´ıgito
decimal, las distintas columnas corresponden al segundo d´ıgito decimal. El
valor que aparece en la tabla es Φpxq. Por ejemplo, el rengl´on marcado con
1.4 y la columna marcada con 0.05 corresponden al valor x “ 1.45, tenemos
entonces que Φp1.45q“0.9265 . Abajo aparecen algunos ejemplos que ilus-
tran el uso de esta tabla. Observe adem´as que para x ě 3.5, la probabilidad
Φpxq es muy cercana a uno, es decir, para esos valores de x la campana
pr´acticamente ha deca´ıdo a cero en el lado derecho. Esto quiere decir que,
con probabilidad cercana a uno, los valores que toma una variable aleatoria
normal est´andar est´an comprendidos entre ´3.5y `3.5.

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