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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 284 — #290
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284 3. Distribuciones de probabilidad

El resultado importante aqu´ı es que siempre es posible transformar una
variable aleatoria normal no est´andar en una est´andar mediante la siguiente
operaci´on, cuya demostraci´on se pide hacer en la secci´on de ejercicios.

2
Proposici´on 3.6 Sea X con distribuci´on Npµ, σ q. Entonces
X ´ µ
Z “ „ Np0, 1q. (3.6)
σ

Al procedimiento anterior se le conoce con el nombre de estandarizaci´on y,
bajo tal transformaci´on, se dice que la variable X ha sido estandarizada. Este
resultado parece muy modesto pero tiene una gran importancia operacional
pues establece que el c´alculo de las probabilidades de una variable aleatoria
normal cualquiera se reduce al c´alculo de las probabilidades para la normal
est´andar. Explicaremos ahora con m´as detalle esta situaci´on. Suponga que X
2
es una variable aleatoria con distribuci´on Npµ, σ q y que deseamos calcular,
por ejemplo, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo pa, bq,
es decir, Ppa ă X ă bq. Como en el enunciado anterior, Z denotar´a una
variable aleatoria con distribuci´on normal est´andar. Tenemos entonces que

Pp a ă X ă b q“ Pp a ´ µ ă X ´ µ ă b ´ µ q
a ´ µ X ´ µ b ´ µ
“ Pp ă ă q
σ σ σ
a ´ µ b ´ µ
“ Pp ă Z ă q.
σ σ

Cada una de las igualdades anteriores es consecuencia de la igualdad de los
eventos correspondientes. De esta forma, una probabilidad que involucra
a la variable X se ha reducido a una probabilidad que involucra a Z.De
modo que ´unicamente necesitamos conocer las probabilidades de los eventos
de Z para calcular las probabilidades de los eventos de la variable X,que
tiene par´ametros arbitrarios. En t´erminos de integrales, el c´alculo anterior
es equivalente al siguiente an´alisis, en donde se lleva a cabo el cambio de

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