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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 283 — #289
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3.13 Distribuci´ on normal 283

2
#dnorm(x,µ, σ)eval´ua fpxq de la distribuci´on Npµ, σ q
#Observeque Rusa elpar´ametro σ yno σ 2
>dnorm(1.5,3,2) #d =density
r1s 0.1505687

La correspondiente funci´on de distribuci´on es
ż x 1 2 2
Fpxq“ ? e ´py´µq {2σ dy,
´8 2πσ 2
pero resulta que esta integral es imposible de resolver y no puede encon-
trarse una expresi´on cerrada. Usando m´etodos num´ericos se han calculado
aproximaciones de los valores de esta funci´on. En R es muy sencillo obtener
tales evaluaciones aproximadas utilizando el siguiente comando.

2
#pnorm(x,µ, σ)eval´ua Fpxq de la distribuci´on Npµ, σ q
#R usael par´ametro σ yno σ 2
>pnorm(1.5,3,2) #p =probability distribution function
r1s 0.2266274

Por otro lado, usando integraci´on por partes, es posible demostrar que para
2
una variable aleatoria X con distribuci´on Npµ, σ q,
a) EpXq“ µ.

2
b) VarpXq“ σ .
Esto significa que, como hemos se˜nalado antes, la campana est´a centrada en
el valor del par´ametro µ, el cual puede ser negativo, positivo o cero, y que
2
la campana se abre o se cierra de acuerdo a la magnitud del par´ametro σ .
El siguiente caso particular de la distribuci´on normal es muy importante.

Distribuci´on normal est´andar

Decimos que la variable aleatoria X tiene una distribuci´on normal est´andar
2
si tiene una distribuci´on normal con par´ametros µ “ 0y σ “ 1. En este
caso, la funci´on de densidad se reduce a la expresi´on
1 2
fpxq“ ? e ´x {2 , ´8 ă x ă 8.
2π

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