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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 281 — #287
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3.12 Distribuci´ on Weibull 281

1
a) EpXq“ Γp1 ` 1{αq.
λ
1
2
b) EpX q“ Γp1 ` 2{αq.
λ 2
1
3
c) EpX q“ Γp1 ` 3{αq.
λ 3
1 2
d) VarpXq“ pΓp1 ` 2{αq´ Γ p1 ` 1{αqq.
λ 2
407. Moda. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Weibullpα, λq.
Demuestre que si α ą 1 entonces X tiene una ´unica moda dada por

1 ˆ α ´ 1 ˙ 1{α
˚
x “ .
λ α

408. Momentos y f.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on
Weibullpα, λq.Demuestre que el n-´esimo momento de X es
1
n
EpX q“ Γp1 ` n{αq.
λ n
En consecuencia, la f.g.m. se puede expresar como

8 n
t 1
ÿ
Mptq“ Γp1 ` n{αq.
n! λ n
n“0
409. Cuantiles. Invirtiendo la funci´on de distribuci´on que aparece en el
Ejercicio 405, encuentre el cuantil al 100p % para una distribuci´on
Weibullpα, λq.

410. Simulaci´on. Sea U una variable aleatoria con distribuci´on unifp0, 1q
ysean α ą 0y λ ą 0 dos constantes. Demuestre la afirmaci´on que
aparece abajo. Este resultado permite obtener valores al azar de la
distribuci´on Weibull a partir de valores al azar de la distribuci´on uni-
forme.
1 1{α
p´ lnp1 ´ Uqq „ Weibullpα, λq.
λ

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