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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 280 — #286
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280 3. Distribuciones de probabilidad

Aplicando la definici´on de la funci´on gamma, y despu´es de algunos c´alculos,
puede encontrarse que la esperanza y la varianza de una variable aleatoria
X con distribuci´on Weibullpα, λq son

1
a) EpXq“ Γp1 ` 1{αq.
λ
1 2
b) VarpXq“ r Γp1 ` 2{αq´ Γ p1 ` 1{αqs.
λ 2
La distribuci´on Weibull se ha utilizado en estudios de confiabilidad y dura-
bilidad de componentes electr´onicos y mec´anicos. El valor de una variable
aleatoria con esta distribuci´on puede interpretarse como el tiempo de vida
´ util que tiene uno de estos componentes. Cuando el par´ametro α toma el
valor uno, la distribuci´on Weibull se reduce a la distribuci´on exponencial
?
2
de par´ametro λ. Por otro lado, cuando α “ 2y λ “ 1{ 2σ se obtiene la
distribuci´on Rayleighpσq, la cual se menciona expl´ıcitamente en el Ejerci-
cio 258, en la p´agina 188. En R se pueden generar valores seudoaleatorios
de la distribuci´on Weibull usando el siguiente comando.

#rweibull(k,α, λ)genera k valores al azar de la distribuci´on
#Weibullpα, λq
>rweibull(5,8,2) #r = random
r1s 1.817331 1.768006 1.993703 1.915803 2.026141

Ejercicios

404. Demuestre que la funci´on de densidad Weibull efectivamente lo es.

405. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Weibullpα, λq.Demues-
tre que la funci´on de distribuci´on es, para x ą 0,

# ´pλxq α
1 ´ e si x ą 0,
Fpxq“
0 en otro caso.

406. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Weibullpα, λq.Demues-
tre que

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