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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 278 — #284
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278 3. Distribuciones de probabilidad

3 apa ` 1qpa ` 2q
c) EpX q“ .
pa ` bqpa ` b ` 1qpa ` b ` 2q
ab
d) VarpXq“ .
pa ` b ` 1qpa ` bq 2
401. Momentos. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on betapa, bq.
Demuestre que el n-´esimo momento de X es

n Bpa ` n, bq apa ` 1q¨ ¨ ¨pa ` n ´ 1q
EpX q“ “ .
Bpa, bq pa ` bqpa ` b ` 1q¨ ¨ ¨pa ` b ` n ´ 1q
En consecuencia, la f.g.m. se puede expresar como

8 n
ÿ t Bpa ` n, bq
Mptq“ .
n! Bpa, bq
n“0

402. Encuentre una expresi´on reducida para la funci´on de distribuci´on Fpxq
de una variable aleatoria con distribuci´on betapa, bq para

a) a ą 0,b “ 1.
b) a “ 1,b ą 0.

403. Moda. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on betapa, bq.De-
muestre que si a ą 1y b ą 1, entonces X tiene una ´unica moda dada
por
a ´ 1
˚
x “ .
a ` b ´ 2

3.12. Distribuci´on Weibull

4
La variable aleatoria continua X tiene una distribuci´on Weibull con par´a-
metros α ą 0y λ ą 0 si su funci´on de densidad est´a dada por la siguiente
expresi´on.
# α
α´1 ´pλxq
λα pλxq e si x ą 0,
fpxq“
0 en otro caso.
4
Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (1887–1979), matem´atico e ingeniero sueco.

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