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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 268 — #274
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268 3. Distribuciones de probabilidad

380. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on exppλq.Demues-
tre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on Mptq
que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades, encuentre
nuevamente la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.

λ
Mptq“ para t ă λ.
λ ´ t

381. Cuantil. Sea p Pp0, 1q. Encuentre el cuantil al 100p %deladistribu-
ci´on exppλq. En particular, muestre que la mediana es pln 2q{λ.

382. Propiedad de p´erdida de memoria. Sea X una variable aleatoria
con distribuci´on exponencial de par´ametro λ. Demuestre que, para
cualesquiera valores x, y ě 0,
PpX ą x ` y | X ą yq“ PpX ą xq.

383. Discretizaci´on: exponencial Ñ geom´etrica. Sea X una variable
aleatoria con distribuci´on exppλq. Demuestre que la variable aleatoria
discreta, definida a continuaci´on, tiene distribuci´on geoppq con p “
1 ´ e ´λ .
0 si 0 ă X ď 1,
$
’
’
1 si 1 ă X ď 2,
’
&
Y “
’ 2 si 2 ă X ď 3,
’
’
%
¨¨¨ ¨¨¨
384. Simulaci´on: m´etodo de la funci´on inversa. Sea U una variable
aleatoria con distribuci´on unifp0, 1q y sea λ ą 0 una constante. De-
muestre que la variable aleatoria X, definida a continuaci´on, tiene
distribuci´on exppλq. Este resultado permite obtener valores al azar
de la distribuci´on exponencial a partir de valores de la distribuci´on
uniforme continua.
1
X “´ ln p1 ´ Uq.
λ
385. Coche en venta. Un se˜nor esta vendiendo su coche y decide aceptar
la primera oferta que exceda $50,000 . Si las ofertas son variables alea-
torias independientes con distribuci´on exponencial de media $45,000,
encuentre

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