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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 273 — #279
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3.10 Distribuci´ on gamma 273

Ejercicios

387. Use la definici´on de la funci´on gamma para demostrar que la funci´on
de densidad gamma efectivamente lo es.

388. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq con α “ 2
y λ “ 3. Encuentre

a) PpX ă 1q c) PpX ă 1 | X ă 2q.
b) PpX ě 2q d) Pp1 ď X ď 2 | X ą 0q.

389. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq.Use la
definici´on de esperanza para demostrar que
3
3
a) EpXq“ α{λ. c) EpX q“ αpα`1qpα`2q{λ .
2
2
2
b) EpX q“ αpα ` 1q{λ . d) VarpXq“ α{λ .
390. Moda. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq.
Demuestre que si α ą 1 entonces X tiene una ´unica moda dada por
α ´ 1
˚
x “ .
λ
391. Momentos. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq.
Demuestre que el n-´esimo momento de X es

n αpα ` 1q¨ ¨ ¨ pα ` n ´ 1q
EpX q“ .
λ n
392. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq ysea c ą 0
una constante. Demuestre que

cX „ gammapα, λ{cq.

393. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gammapα, λq.
Demuestre que la funci´on generadora de momentos de X es la fun-
ci´on Mptq que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades
encuentre nuevamente la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.
α
ˆ ˙
λ
Mptq“ para t ă λ.
λ ´ t

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