Page 281 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 271 — #277
✐ ✐

3.10 Distribuci´ on gamma 271

la distribuci´on exponencial de par´ametro λ.

Por otro lado, la funci´on de distribuci´on gamma Fpxq no tiene, en general,
una expresi´on compacta, pero pueden calcularse con facilidad sus valores
en R mediante el comando que aparece en el siguiente recuadro. V´ease el
Ejercicio 396 para conocer una f´ormula para Fpxq en un caso particular de
sus par´ametros.

#pgamma(x,shape=α,rate=λ)eval´ua Fpxq de la distribuci´on
#gammapα, λq
>pgamma(2.5,shape=7,rate=3) #p =probability dist. function
r1s 0.6218453

Resolviendo un par de integrales se puede demostrar que

a) EpXq“ α{λ.
2
b) VarpXq“ α{λ .

Cuando el par´ametro α es un n´umero natural n, la distribuci´on gammapn, λq
adquiere tambi´en el nombre de distribuci´on Erlangpn, λq, y esta distribuci´on
puede obtenerse del siguiente resultado, que es una aplicaci´on inmediata de
la f.g.m. y sus propiedades.

Proposici´on 3.4 Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes,
cada una de ellas con distribuci´on exppλq. Entonces

X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n „ gammapn, λq.
Rec´ıprocamente, toda variable aleatoria con distribuci´on gammapn, λq,
en donde n ě 1 es un entero, se puede expresar como una suma de la
forma anterior.

As´ı, una variable aleatoria con distribuci´on gammapn, λq, cuando n es un
entero positivo, puede interpretarse como el tiempo acumulado de n tiem-
pos de espera exponenciales independientes, uno seguido del otro. V´ease la

✐ ✐

✐ ✐