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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 251 — #257
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3.7 Distribuci´ on Poisson 251

Soluci´on.Sea X el n´umero de peticiones por minuto. Supondremos que X
tiene distribuci´on Poissonpλq con λ “ 2. Para el primer inciso tenemos que

2 0
PpX “ 0q“ e ´2 “ 0.135 .
0!
Para el segundo inciso,

PpX ą 2q“ 1 ´ PpX ď 2q
“ 1 ´pPpX “ 0q` PpX “ 1q` PpX “ 2qq
1
2
0
“ 1 ´ e ´2 p 2 {0! ` 2 {1! ` 2 {2! q
“ 0.323 .
‚

Construcci´on de la distribuci´on Poisson

Puede demostrarse que cuando X „ binpn, pq, y haciendo tender n a infinito
y p a cero de tal forma que el producto np se mantenga constante igual a
λ, la variable aleatoria X adquiere la distribuci´on Poisson de par´ametro λ.
En el Ejercicio 349 que aparece en la p´agina 255 puede verse el enunciado
preciso de este resultado, el cual establece una forma l´ımite de obtener la dis-
tribuci´on Poisson a trav´es de la distribuci´on binomial. Adem´as, este mismo
resultado sugiere que cuando n es grande, la distribuci´on binomial puede ser
aproximada mediante la distribuci´on Poisson de par´ametro λ “ np.Esto es
particularmente ´util pues las probabilidades de la distribuci´on binomial in-
volucran el c´alculo de factoriales y ello puede ser computacionalmente dif´ıcil
cuando el n´umero de ensayos n es grande. El siguiente ejemplo ilustrar´a esta
situaci´on.

Ejemplo 3.11 En promedio, uno de cada 100 focos producidos por una
m´aquina es defectuoso. Use la distribuci´on Poisson para aproximar la pro-
babilidad de encontrar 5 focos defectuosos en un lote de 1000 focos.

Soluci´on. Sea X el n´umero de focos defectuosos en el lote de 1000 focos.
Entonces X tiene distribuci´on binpn, pq con n “ 1000 y p “ 1{100. Usando

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