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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 254 — #260
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254 3. Distribuciones de probabilidad

Demostraci´on. Para cualquier entero u ě 0,
u
ÿ
PpX ` Y “ uq“ PpX “ x, Y “ u ´ xq
x“0
u
ÿ
“ PpX “ xq PpY “ u ´ xq
x“0
u x u´x
ÿ λ 1 λ 2
“ e ´λ 1 e ´λ 2
x! pu ´ xq!
x“0
u ˆ ˙
1 ÿ u
x
“ e ´pλ 1 `λ 2 q λ λ u´x
u! x 1 2
x“0
u
pλ 1 ` λ 2 q
“ e ´pλ 1 `λ 2 q .
u!
‚
El resultado anterior ya hab´ıa sido demostrado en el Ejemplo 2.32 de la
p´agina 200, usando la propiedad de caracterizaci´on ´unica de la f.g.p. La
demostraci´on presentada ahora es directa y no hace uso de la f.g.p. Otra
manera de demostrar este resultado es a trav´es de la f.g.m. y su propiedad
de caracterizaci´on ´unica.

Ejercicios

345. Demuestre que la funci´on de probabilidad de la distribuci´on Poissonpλq
es, efectivamente, una funci´on de probabilidad.

346. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Poissonpλq.Demuestre
que
a) EpXq“ λ.
2
2
b) EpX q“ λ ` λ .
c) VarpXq“ λ.
347. Sean n, m ě 0 dos n´umeros enteros distintos fijos y sea X una variable
aleatoria con distribuci´on Poisson de par´ametro λ. Encuentre el valor
de λ tal que
PpX “ nq“ PpX “ mq.

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