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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 255 — #261
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3.7 Distribuci´ on Poisson 255

348. Moda. Sea fpxq la funci´on de probabilidad de la distribuci´on Poissonpλq.
Demuestre que:

a) F´ormula iterativa: para x ě 0 entero,

λ
fpx ` 1q“ fpxq.
x ` 1
b) fpxq es creciente de x a x`1, es decir, fpxq ď fpx`1q para valores
enteros de x en el intervalo r0, λ ´ 1s. Es posible que no haya
ning´un valor de x para el que se presente este comportamiento
creciente, por ejemplo, cuando el intervalo mencionado es vac´ıo.
c) fpxq es decreciente de x a x ` 1, es decir, fpxq ě fpx ` 1q para
valores enteros de x en el intervalo rλ ´ 1, 8q.
d)si λ´1 no es un entero, entonces fpxq tiene un ´unico m´aximo en
˚
x , definido como el entero m´as peque˜no mayor o igual a λ ´ 1,
es decir,
˚
x “ rλ ´ 1s.
˚
En este caso, x es la moda de la distribuci´on y es ´unica. Este
valor se puede escribir tambi´en en la forma
˚
x “ tλu.

e)si λ ´ 1 es un entero, entonces fpxq alcanza su valor m´aximo en
˚
˚
los puntos x “ λ ´ 1y x ` 1 “ λ, y la distribuci´on es por lo
tanto bimodal.
349. Convergencia binomial Ñ Poisson.Sea X una variable aleato-
ria con distribuci´on binpn, pq tal que p “ λ{n con λ ą 0 constante.
Demuestre que para cada k “ 0, 1,...

λ k
l´ım PpX “ kq“ e ´λ .
nÑ8 k!
Esto quiere decir que la funci´on de probabilidad binomial converge
puntualmente a la funci´on de probabilidad Poisson, o en t´erminos
de aproximaciones, que las probabilidades de la distribuci´on binomial
pueden aproximarse mediante las probabilidades Poisson cuando n es

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