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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 256 — #262
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256 3. Distribuciones de probabilidad

grande y p es peque˜no de la forma λ{n. En la Figura 3.11 se comparan
las funciones de probabilidad de las distribuciones binomialpn, pq y
Poissonpλq con λ “ 2, p “ λ{n para n “ 4, 6, 8, 10. Se observa que
conforme el par´ametro n crece, las dos funciones son cada vez m´as
parecidas. La gr´afica de barras corresponde a la distribuci´on binomial
y la gr´afica de puntos corresponde a la distribuci´on Poisson.

350. F.g.p. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Poissonpλq.De-
muestre que la funci´on generadora de probabilidad de X es la funci´on
Gptq que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades en-
cuentre nuevamente la esperanza y varianza de esta distribuci´on.

Gptq“ e λpt´1q .

351. Momentos: f´ormula recursiva. Sea X una variable aleatoria con
distribuci´on Poissonpλq. Demuestre que para cualquier entero n ě 1,

n´1 ˆ n ´ 1 ˙
k
ÿ
n
EpX q“ λ EpX q.
k
k“0
352. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Poissonpλq.De-
muestre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on
Mptq que aparece abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades en-
cuentre nuevamente la esperanza y varianza de esta distribuci´on.

t
Mptq“ e λpe ´1q .

353. El siguiente resultado fue demostrado en la Proposici´on 3.3, en la
p´agina 253, usando un m´etodo directo. Ahora se propone un m´eto-
do alternativo. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
con distribuci´on Poissonpλ 1 q y Poissonpλ 2 q, respectivamente. Use la
funci´on generadora de momentos para demostrar nuevamente que

X ` Y „ Poissonpλ 1 ` λ 2 q.

354. Suma aleatoria de v.a.s Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables
aleatorias independientes con distribuci´on Berppq eindependientesde

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