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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 248 — #254
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248 3. Distribuciones de probabilidad

3.7. Distribuci´on Poisson

Supongamos que deseamos observar el n´umero de ocurrencias de un cier-
to evento dentro de un intervalo de tiempo dado, por ejemplo, el n´umero
de clientes que llegan a un cajero autom´atico durante la noche, o tal vez
deseamos registrar el n´umero de accidentes que ocurren en cierta avenida
durante todo un d´ıa, o el n´umero de reclamaciones que llegan a una com-
pa˜n´ıa aseguradora en una semana. En la Figura 3.9 se ilustra la ocurrencia
al azar de estos eventos en el intervalo de tiempo r0, 1s.

ˆˆ ˆ ˆ
0 1

Figura 3.9

Para modelar este tipo de situaciones podemos definir la variable aleatoria X
como el n´umero de ocurrencias de este evento en el intervalo de tiempo dado.
Es claro entonces que X puede tomar los valores 0, 1, 2,...,y enprincipio
no ponemos una cota superior para el n´umero de observaciones del evento.
Adicionalmente supongamos que conocemos la tasa media de ocurrencia
del evento de inter´es, que denotamos por la letra λ (lambda). El par´ametro
λ es positivo y se interpreta como el n´umero promedio de ocurrencias del
evento por unidad de tiempo o espacio. La probabilidad de que la variable
aleatoria X tome un valor entero x ě 0 se definir´a a continuaci´on: decimos
3
que X tiene una distribuci´on Poisson con par´ametro λ ą 0, y escribimos
X „ Poissonpλq, cuando su funci´on de probabilidad es

λ
$ x
´λ
& e si x “ 0, 1,...
fpxq“ x!
0 en otro caso.
%
Observe que, a diferencia de las distribuciones discretas estudiadas antes,
no hemos construido la distribuci´on Poisson (aunque puede hacerse), sino
simplemente la hemos definido. La distribuci´on Poisson es muy importante

3
Sim´eon Denis Poisson (1781–1840), matem´atico, ge´ometra y f´ısico franc´es.

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