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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 252 — #258
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252 3. Distribuciones de probabilidad

la distribuci´on binomial tenemos que

1000
ˆ ˙
5
PpX “ 5q“ p1{100q p99{100q 995 “ 0.0374531116 .
5
Este es el valor exacto de la probabilidad buscada y fue obtenido con el
paquete estad´ıstico R usando el comando dbinom(5,1000,0.01). Por otro
lado, usando la aproximaci´on Poisson con λ “ np “ 1000{100 “ 10, tenemos
el siguiente c´alculo aproximado pero simple

10 5
PpX “ 5q« e ´10 “ 0.0379841747 .
5!
‚

Cambio de intervalo de tiempo
Hemos interpretado a una variable aleatoria con distribuci´on Poisson de
par´ametro λ como aquella variable que registra el n´umero de ocurrenciasde
un cierto evento dentro de un intervalo de tiempo dado. Supongamos que tal
intervalo es de longitud unitaria y consideremos que se trata del intervalo
r0, 1s. Considere ahora que nos interesa observar el n´umero de ocurrencias
del evento en un intervalo de longitud diferente, por ejemplo r0,ts, con t ą 0
cualquiera. ¿Cu´al es la distribuci´on del n´umero de eventos ocurridos en el
intervalo r0,ts? Se puede demostrar que tal conteo de ocurrencias tambi´en
sigue una distribuci´on Poisson pero esta vez de par´ametro λt. Por ejemplo,
si t “ 2, entonces el n´umero de ocurrencias del evento en el intervalo r0, 2s
tiene distribuci´on Poisson de par´ametro 2λ.Elsiguienteejemplo ilustraeste
resultado.

Ejemplo 3.12 El n´umero de aviones que llega a un aeropuerto interna-
cional se considera como una cantidad aleatoria y se modela mediante una
variable aleatoria con distribuci´on Poisson con una frecuencia promedio de
3 aviones cada 10 minutos. Es decir, la unidad de medici´on del tiempo es
de diez minutos. Se puede escribir

X r0,10s „ Poissonpλq, con λ “ 3.
en donde se ha indicado el intervalo al que se hace referencia como sub´ındice
de la variable aleatoria. Tenemos entonces los siguientes ejemplos.

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