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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 241 — #247
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3.5 Distribuci´ on binomial negativa 241

328. Simulaci´on. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias in-
dependientes con distribuci´on Berppq ysea r ě 1 un entero. Defina

n
ÿ
X “ m´ın t n ě r : X k “ r u´ r.
k“1
Demuestre que X tiene distribuci´on bin negpr, pq. Esto permite en-
contrar valores al azar de la distribuci´on binomial negativa a partir de
valores al azar de la distribuci´on Bernoulli.

329. F.g.p. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on bin negpr, pq.
Demuestre que la f.g.p. de X est´a dada por la expresi´on que aparece
abajo. A trav´es de esta funci´on, encuentre nuevamente las expresiones
para la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.

ˆ ˙ r
p
Gptq“ para |t| ă 1{p1 ´ pq.
1 ´p1 ´ pqt
330. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on bin. negpr, pq.
Demuestre que la f.g.m. de X est´a dada por la expresi´on que aparece
abajo. A trav´es de esta funci´on, encuentre nuevamente las expresiones
para la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.

ˆ ˙ r
p
Mptq“ para |t| ă ´ lnp1 ´ pq.
1 ´p1 ´ pqe t
331. Demuestre la primera parte de la Proposici´on 3.2 de la p´agina 238
usando

a) la f.g.m.
b) la f.g.p.

332. Suma. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes con dis-
tribuci´on bin negpr, pq ybin negps, pq, respectivamente. El segundo
par´ametro es el mismo. Demuestre que la variable X ` Y tiene distri-
buci´on bin negpr ` s, pq siguiendo los siguientes tres m´etodos.

a) Calculando directamente PpX ` Y “ kq para k “ 0, 1,...

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