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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 240 — #246
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240 3. Distribuciones de probabilidad

rp1 ´ pq
c) VarpXq“ .
p 2
326. Demuestre que el coeficiente binomial que aparece en la definici´on de
la distribuci´on binomial negativa se puede expresar de la siguiente
forma.
r ` x ´ 1 x ´r
ˆ ˙ ˆ ˙
“p´1q .
x x
327. Moda. Sea fpxq la funci´on de probabilidad de la distribuci´on bin-
negpr, pq, en donde 0 ă p ă 1. Demuestre que

a) F´ormula iterativa: para x ě 0 entero,
x ` r
fpx ` 1q“p1 ´ pq fpxq
x ` 1
b) fpxq es creciente de x a x ` 1, es decir, fpxq ď fpx ` 1q para
valores enteros de x en el intervalo r0, pr ´ 1qp1 ´ pq{p ´ 1s.Es
posible que no haya ning´un valor de x para el que se presente
este comportamiento creciente, por ejemplo cuando el intervalo
mencionado es vac´ıo. Este es el caso, por ejemplo, cuando r “ 1,
que corresponde a la distribuci´on geom´etrica. La moda es ´unica
˚
yes x “ 0.
c) fpxq es decreciente de x a x ` 1, es decir, fpxq ě fpx ` 1q para
valores enteros de x dentro del intervalo rpr ´1qp1´pq{p´1, 8q.
d)si pr ´ 1qp1 ´ pq{p ´ 1 no es un entero, entonces fpxq tiene un
˚
´ unico m´aximo en x , definido como el entero m´as peque˜no mayor
o igual a pr ´ 1qp1 ´ pq{p ´ 1, es decir,

˚
x “ rpr ´ 1qp1 ´ pq{p ´ 1s.
˚
En este caso, x es la moda de la distribuci´on y es ´unica. Este
valor se puede escribir tambi´en en la forma
˚
x “ tpr ´ 1qp1 ´ pq{pu.

e)si pr ´1qp1´pq{p´1 es un entero mayor o igual a cero, entonces
˚ ˚
fpxq alcanza su valor m´aximo en los puntos x y x ` 1 “pr ´
1qp1 ´ pq{p, y la distribuci´on es por lo tanto bimodal.

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