Page 248 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 238 — #244
✐ ✐

238 3. Distribuciones de probabilidad

rp1 ´ pq
a) EpXq“ .
p

rp1 ´ pq
b) VarpXq“ .
p 2
Observe que estas expresiones se reducen a las correspondientes de la dis-
tribuci´on geoppq cuando r “ 1. Por otro lado, el coeficiente binomial puede
extenderse para cualquier n´umero real a y cualquier entero natural x de la
siguiente manera.

ˆ ˙
a apa ´ 1q¨ ¨ ¨pa ´ x ` 1q
“ . (3.2)
x x!
Puede entonces demostrarse la siguiente identidad, de donde adquiere su
nombre la distribuci´on binomial negativa.

r ` x ´ 1 x ´r
ˆ ˙ ˆ ˙
“p´1q . (3.3)
x x
El siguiente resultado establece una forma de construir la distribuci´on bi-
nomial negativa como una suma de variables aleatorias independientes con
distribuci´on geom´etrica. Su demostraci´on no es complicada.

Proposici´on 3.2 Sea r ě 1 un n´umero entero y sean X 1 ,... ,X r varia-
bles aleatorias independientes, cada una con distribuci´on geoppq. Enton-
ces
X 1 `¨ ¨ ¨ ` X r „ bin negpr, pq. (3.4)

Rec´ıprocamente, toda variable aleatoria con distribuci´onbin negpr, pq
puede ser expresada como una suma de la forma anterior.

En la secci´on de ejercicios se pide desarrollar una prueba para la primera im-
plicaci´on. La segunda implicaci´on es una formalizaci´on de la definici´on mis-
ma de una variable aleatoria con distribuci´on binomial negativa. Aplicando
directamente esperanza y varianza a la suma indicada pueden encontrarse
estas cantidades para esta distribuci´on.

✐ ✐

✐ ✐