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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 236 — #242
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236 3. Distribuciones de probabilidad

323. Se tiene una gran cantidad de productos y se sabe que el porcentaje de
defectuosos es p100 θq %, en donde θ Pp0, 1q es un n´umero fijo. En un
procedimiento de muestreo se escogen los productos al azar, uno por
uno, hasta encontrar uno defectuoso. Sea X el n´umero de elementos
que se tienen que escoger hasta encontrar uno defectuoso. Entonces X
tiene funci´on de probabilidad aproximada

#
x´1
p1 ´ θq θ si x “ 1, 2,...
fpxq“
0 en otro caso.
a)Demuestre que fpxq es una funci´on de probabilidad.
b) Encuentre la probabilidad de que sean necesarias mas de 10 ex-
tracciones para poder obtener un producto defectuoso.

3.5. Distribuci´on binomial negativa

Consideremos nuevamente la situaci´on de observar los resultados de una
sucesi´on infinita de ensayos independientes Bernoulli, en cada uno de los
cuales la probabilidad de ´exito es p.Sea r ě 1 un n´umero entero. Definimos
ahora a la variable aleatoria X como el n´umero de fracasos antes de obtener
el r-´esimo ´exito. Decimos entonces que X tiene una distribuci´on binomial
negativa con par´ametros r y p, y escribimos X „ bin negpr, pq. Es claro
que la variable X puede tomar los valores 0, 1, 2,... con las probabilidades
dadas por la funci´on de probabilidad

$ ˆ ˙
r ` x ´ 1
p p1 ´ pq
& r x si x “ 0, 1,...
fpxq“ x
0 en otro caso.
%
r
En esta f´ormula aparece el t´ermino p pues nos interesa observar r ´exitos.
Por otro lado, podemos tener un n´umero variable x de fracasos, de ah´ı el
x
t´ermino p1´pq . Finalmente, el factor ` r`x´1 ˘ indica los diferentes arreglos
x
en los que los x fracasos y los r ´ 1 ´exitos se encuentran distribuidos en
r ` x ´ 1 ensayos. Observe que el r-´esimo ´exito debe aparecer en el ensayo
r ` x. En el Ejercicio 324 se deja al lector resolver el problema no trivial de
verificar que la funci´on fpxq, arriba indicada, es efectivamente una funci´on

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