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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 234 — #240
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234 3. Distribuciones de probabilidad

314. Simulaci´on. Sea X 0 ,X 1 ,... una sucesi´on de variables aleatorias in-
dependientes con distribuci´on Berppq. Defina

X “ m´ın tn ě 0: X n “ 1u.

Demuestre que X tiene distribuci´on geoppq. Esto permite encontrar
valores al azar de la distribuci´on geom´etrica a partir de una sucesi´on
de valores al azar de la distribuci´on Bernoulli.

315. F.g.p. Demuestre que la f.g.p. de una variable aleatoria X con distri-
buci´on geoppq est´a dada por la expresi´on que aparece abajo. A trav´es
de esta funci´on encuentre nuevamente las expresiones para la esperan-
za y varianza de esta variable aleatoria.

p
Gptq“ para |t| ă 1{p1 ´ pq.
1 ´p1 ´ pqt

316. F.g.m. Demuestre que la f.g.m. de una variable aleatoria X con distri-
buci´on geoppq est´a dada por la expresi´on que aparece abajo. A trav´es
de esta funci´on encuentre nuevamente las expresiones para la esperan-
za y varianza de esta variable aleatoria.

p
Mptq“ para |t| ă ´ lnp1 ´ pq.
1 ´p1 ´ pqe t

317. Propiedad de p´erdida de memoria. Sea X una variable aleato-
ria con distribuci´on geoppq. Demuestre que para cualesquiera enteros
n, m ě 0,
PpX ě n ` m | X ě mq“ PpX ě nq.

318. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes, ambas con dis-
tribuci´on geoppq.Demuestre que

ˆ ˙
k ` 1 k 2
PpX ` Y “ kq“ p1 ´ pq p , k “ 0, 1,...
k
Compruebe que la expresi´on anterior corresponde, efectivamente, a
una funci´on de probabilidad. Esta es la distribuci´on binomial negativa
de par´ametros pr, pq con r “ 2, la cual veremos en la siguiente secci´on.

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