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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 233 — #239
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3.4 Distribuci´ on geom´ etrica 233

Soluci´on. Supongamos que X denota el n´umero de veces que la persona
participa en el juego antes de obtener el primer premio. Entonces X puede
tomar los valores 0, 1,... y tiene una distribuci´on geom´etrica de par´ametro
p “ 10 ´6 . La variable aleatoria X ` 1 representa, en cambio, el n´umero de
participaciones incluyendo el momento de ganar. Su esperanza es

1 ´ p 1 6
EpX ` 1q“ ` 1 “ “ 10 “ 1, 000, 000.
p p

Este es el n´umero promedio de semanas que la persona debe jugar para ob-
tener el primer premio y es, aproximadamente, equivalente a 19, 230 a˜nos.
Observe que el valor directo EpXq“ p1 ´ pq{p nos proporciona una aproxi-
maci´on de la cantidad buscada. ‚

Ejercicios

311. Sea fpxq la funci´on de probabilidad de la distribuci´on geoppq.Demues-
tre que:

a) fpxq es, efectivamente, una funci´on de probabilidad.
˚
b) fpxq es decreciente y por lo tanto tiene un m´aximo en x “ 0.
Este valor es siempre la moda de la distribuci´on geom´etrica.

312. Usando la definici´on de esperanza y varianza demuestre que si X es
una variable aleatoria con distribuci´on geoppq entonces

a) EpXq“ p1 ´ pq{p.
2
2
b) EpX q“p2 ´ pqp1 ´ pq{p .
2
c) VarpXq“ p1 ´ pq{p .
313. Use la f´ormula (2.20) del Ejercicio 218, en la p´agina 170, para demos-
trar que si X tiene distribuci´on geoppq entonces

1 ´ p
EpXq“ .
p

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