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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 227 — #233
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3.3 Distribuci´ on binomial 227

298. Usando directamente la definici´on de esperanza, demuestre que si X
tiene distribuci´on binpn, pq, entonces:

a) EpXq“ np.
2
b) EpX q“ npp1 ´ p ` npq.
c) VarpXq“ npp1 ´ pq.

299. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on binpn, pq. Suponiendo n
constante, encuentre el valor de p que maximiza la varianza de X.

300. F.g.p. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on binpn, pq.De-
muestre que la f.g.p. de X est´a dada por la expresi´on que aparece
abajo. A trav´es de esta funci´on encuentre nuevamente la esperanza y
la varianza de esta distribuci´on.

n
Gptq“p1 ´ p ` ptq .

301. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on binpn, pq.De-
muestre que la f.g.m. de X est´a dada por la expresi´on que aparece
abajo. A trav´es de esta funci´on encuentre nuevamente la esperanza y
la varianza de esta distribuci´on.

t n
Mptq“p1 ´ p ` pe q .
302. Demuestre la primera parte de la Proposici´on 3.1 de la p´agina 224
usando

a) la f.g.m.
b) la f.g.p.

303. Suma. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes con dis-
tribuci´on binpn, pq ybinpm, pq, respectivamente. Demuestre que la va-
riable X ` Y tiene distribuci´on binpn ` m, pq siguiendo los siguientes
tres m´etodos:

a) Calculando directamente PpX `Y “ kq para k “ 0, 1,... ,n`m.
b) Usando la f.g.p.
c) Usando la f.g.m.

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