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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 222 — #228
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222 3. Distribuciones de probabilidad

ahora definimos la variable aleatoria X como aquella funci´on que indica el
n´umero de ´exitos en cada una de estas sucesiones, esto es,

XpEE ¨¨¨ EEq“ n,
XpFE ¨¨¨ EEq“ n ´ 1,
. . .

XpFF ¨¨¨ FFq“ 0,

entonces tenemos que X puede tomar los valores 0, 1, 2,... ,n, con las pro-
babilidades dadas por la funci´on de probabilidad
$ ˆ ˙
n
p p1 ´ pq
& x n´x si x “ 0, 1,... ,n,
fpxq“ x
0 en otro caso.
%
Decimos entonces que X tiene una distribuci´on binomial con par´ametros n
y p, y escribimos X „ binpn, pq. Esta expresi´on para la funci´on de proba-
bilidad puede obtenerse de la siguiente forma: la probabilidad de obtener x
´exitos y n ´ x fracasos en n ensayos Bernoulli es, preliminarmente,

x n´x
p ¨¨¨ p p1 ´ pq¨ ¨ ¨p1 ´ pq “ p p1 ´ pq ,
loomoon loooooooooomoooooooooon
x n´x
pero hemos colocado los x ´exitos en los primeros ensayos, cuando ello no
ocurrir´a necesariamente as´ı. Las diferentes formas en que los x ´exitos pue-
n
` ˘
den distribuirse en los n ensayos est´a dada por el coeficiente binomial x .
n
Por ejemplo, hay ` ˘ “ 1 manera de obtener n ´exitos en n ensayos, hay
n “ n formas diferentes de obtener n ´ 1´exitos en n ensayos, etc´ete-
` ˘ n
n´1
ra. Al hacer la multiplicaci´on de este coeficiente binomial con el t´ermino
x n´x
p p1´pq se obtiene la expresi´on de la funci´on de probabilidad para esta
distribuci´on.
La evaluaci´on de la funci´on fpxq puede representar un reto desde el punto
de vista num´erico, pues se ven involucradas varias multiplicaciones, particu-
larmente cuando n es grande. En el paquete R, esta funci´on de probabilidad
se obtiene usando el siguiente comando.

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