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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 226 — #232
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226 3. Distribuciones de probabilidad

296. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on binpn, pq. Encuentre los
valores de los par´ametros n y p cuando:

a) EpXq“ 6 y VarpXq“ 3.
2
b) EpXq“ 12 y EpX q“ 150.
297. Moda. Sea fpxq la funci´on de probabilidad de la distribuci´on binpn, pq,
en donde 0 ă p ă 1. Demuestre que:

a) F´ormula iterativa: para x entero tal que 0 ď x ď n,

p pn ´ xq
fpx ` 1q“ fpxq.
p1 ´ pq px ` 1q
b) fpxq es creciente de x a x ` 1, es decir, fpxq ď fpx ` 1q para
valores enteros no negativos de x en el intervalo r0, pn ` 1qp ´ 1s.
Cuando este intervalo es vac´ıo no se presenta este comportamien-
to creciente y la funci´on de probabilidad es siempre decreciente.
c) fpxq es decreciente de x a x ` 1, es decir, fpxq ě fpx ` 1q para
valores enteros no negativos de x en el intervalo rpn`1qp´1,n´1s.
Nuevamente, existe la posibilidad de que no haya ning´un valor
de x para el que se cumpla este comportamiento decreciente, por
ejemplo, cuando el intervalo mencionado es vac´ıo, y por lo tanto
la funci´on es siempre creciente.
d)si pn ` 1qp ´ 1 no es un entero, entonces fpxq tiene un ´unico
˚
m´aximo en x definido como el entero m´as peque˜no mayor o
igual a pn ` 1qp ´ 1, es decir,

˚
x “ rpn ` 1qp ´ 1s.
˚
En este caso, x es la moda de la distribuci´on y es ´unica. Este
valor se puede escribir tambi´en en la forma

˚
x “ tpn ` 1qpu.

e)si pn`1qp´1 es alguno de los enteros 0, 1,... ,n´1, entonces fpxq
˚
˚
alcanza su valor m´aximo en los puntos x y x ` 1 “pn ` 1qp,y
la distribuci´on es por lo tanto bimodal.

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