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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 224 — #230
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224 3. Distribuciones de probabilidad

#pbinom(x,n,p) eval´ua Fpxq de la distribuci´on binpn, pq
>pbinom(4,10,0.3) #p = probability distribution function
r1s 0.8497317

Por otro lado, despu´es de algunos c´alculos puede demostrarse que para una
variable X con distribuci´on binpn, pq,

a) EpXq“ np.

b) VarpXq“ npp1 ´ pq.

Es instructivo observar que cuando el par´ametro n en la distribuci´on binpn, pq
toma el valor 1 se obtiene la distribuci´on Berppq. El siguiente resultado es
muy ´util y se puede demostrar por separado o bien considerarse como una
consecuencia de la forma en la que se ha definido la distribuci´on binomial.

Proposici´on 3.1 Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes,
cada una con distribuci´on Berppq. Entonces

X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n „ binpn, pq. (3.1)

Rec´ıprocamente, toda variable aleatoria con distribuci´onbinpn, pq puede
ser expresada como una suma de la forma anterior.

As´ı, cada sumando toma el valor 1 o 0, dependiendo si el ensayo correspon-
diente fue ´exito o fracaso, y la suma indica el n´umero total de ´exitos en los
n ensayos. Aplicando las propiedades de la esperanza y la varianza en esta
suma de variables aleatorias se pueden encontrar de forma m´as directa la
esperanza y la varianza de la distribuci´on binomial.

Simulaci´on 3.4 La expresi´on (3.1) sugiere un mecanismo para generar va-
lores al azar de la distribuci´on binpn, pq. Si se generan de manera indepen-
diente n valores al azar de la distribuci´on Berppq y se suman estos valores,
se obtiene un valor al azar de la distribuci´on binpn, pq. ‚

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