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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 204 — #210
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204 2. Variables aleatorias

8
ż
tx
Mptq“ e fpxq dx, (2.27)
´8
para valores reales de t en donde esta suma o integral sea finita. Los resul-
tados que veremos en esta secci´on tienen la finalidad de mostrar algunas
propiedades que posee la f.g.m. y que la hacen una herramienta muy atrac-
tiva para resolver algunos problemas de probabilidad. Sin embargo, se debe
se˜nalar que no todas las variables aleatorias tienen asociada una funci´on
generadora de momentos. Veamos por ahora un ejemplo del c´alculo de esta
funci´on.
Ejemplo 2.33 Considere la variable continua X con funci´on de densidad

1 ´|x|
fpxq“ e , x P R.
2
La funci´on generadora de momentos de esta variable aleatoria se calcula de
la siguiente forma.

ż 8 1
Mptq“ e tx e ´|x| dx
´8 2
1 ż 8 tx ´x 1 ż 0 tx x
“ e e dx ` e e dx
2 0 2 ´8
1 ż 8 pt´1qx 1 ż 0 pt`1qx
“ e dx ` e dx
2 0 2 ´8
1 1 ˇ ˇ 8 1 1 ˇ ˇ 0
“ e pt´1qx ˇ ` e pt`1qx ˇ
2 pt ´ 1q ˇ 2 pt ` 1q ˇ
0 ´8
1 1 1 1
“ p´1q` p1q si ´ 1 ă t ă 1,
2 pt ´ 1q 2 pt ` 1q
1
“ si ´ 1 ă t ă 1.
1 ´ t 2
Esta es entonces la funci´on generadora de momentos de una variable alea-
toria con la distribuci´on indicada. Observe que su dominio de definici´on no
es la totalidad de n´umeros reales, sino ´unicamente el intervalo p´1, 1q. ‚

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