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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 207 — #213
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2.12 Funci´ on generadora de momentos 207

Proposici´on 2.18 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
con funciones generadoras de momentos M X ptq y M Y ptq. Entonces

M X`Y ptq“ M X ptq M Y ptq.

Demostraci´on. Usando la hip´otesis de independencia tenemos que

M X`Y ptq“ Epe tpX`Y q q
tY
“ Epe tX e q
tY
“ Epe tX q Epe q
“ M X ptq M Y ptq.

Observe que hemos usado nuevamente el resultado de la Proposici´on 2.9 re-
lativo a la independencia de funciones de variables aleatorias independientes.
‚
La f.g.m. tambi´en tiene la propiedad de caracterizar a la distribuci´on de
probabilidad de manera ´unica. Este es el contenido del siguiente resultado,
cuya demostraci´on no es sencilla y la omitiremos.

Proposici´on 2.19 (Caracterizaci´on).Sean X y Y dos variables alea-
torias con f.g.m. M X ptq y M Y ptq, las cuales coinciden en un intervalo
p´s, sq, con s ą 0. Entonces X y Y tienen la misma distribuci´on de
probabilidad.

M´as a´un, las funciones generadoras de momentos cumplen con la siguiente
propiedad importante, que usaremos en el ´ultimo cap´ıtulo para demostrar
algunos teoremas l´ımite.

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