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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 201 — #207
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2.11 Funci´ on generadora de probabilidad 201

por
λ
$ x
e si x “ 0, 1,...
& ´λ
fpxq“ x!
0 en otro caso.
%
Esto es, para cualquier valor real y fijo del par´ametro λ ą 0, esta funci´on
es una funci´on de probabilidad. En el siguiente cap´ıtulo estudiaremos con
m´as detalle esta distribuci´on. Por ahora nuestro objetivo es calcular su f.g.p.
Tenemos que

X
Gptq“ Ept q
8 x
ÿ x ´λ λ
“ t e
x!
x“0
8 ptλq x
ÿ
“ e ´λ
x!
x“0
“ e ´λ tλ
e
“ expt´λp1 ´ tqu.
As´ı, debido a lo demostrado antes relativo a la correspondencia uno a uno
entre las distribuciones de probabilidad y las f.g.p., sabemos que esta fun-
ci´on es la f.g.p. de la distribuci´on Poisson y que cualquier variable aleatoria
discreta con f.g.p. de esta forma tiene distribuci´on Poisson. Usaremos este
hecho para demostrar con facilidad que la suma de dos variables aleatorias
independientes con distribuci´on Poisson tiene nuevamente distribuci´on Pois-
son. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes con distribuci´on
Poisson de par´ametros λ 1 y λ 2 , respectivamente. Entonces, por independen-
cia,

G X`Y ptq“ G X ptq G Y ptq
“ expt´λ 1 p1 ´ tqu expt´λ 2 p1 ´ tqu
“ expt´pλ 1 ` λ 2 qp1 ´ tqu.

Observe que esta ´ultima expresi´on tiene la forma de la f.g.p. de la distribu-
ci´on Poisson, s´olo que en lugar del par´ametro λ aparece la expresi´on λ 1 `λ 2 .
Esto indica que X ` Y tiene distribuci´on Poisson de par´ametro λ 1 ` λ 2 . ‚

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