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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 205 — #211
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2.12 Funci´ on generadora de momentos 205

En el siguiente cap´ıtulo veremos otros ejemplos de funciones generadoras
de momentos para distribuciones particulares de inter´es. Reiteramos que la
suma (2.26) o integral (2.27) pueden no ser convergentes para ning´un valor
de t distinto de cero, y en tales casos decimos que la variable aleatoria no
tiene funci´on generadora de momentos finita. V´ease el Ejercicio 272 para un
ejemplo de esta situaci´on. Por otro lado, para una variable aleatoria discre-
ta, la f.g.p. y la f.g.m., si existen, est´an relacionadas mediante la siguiente
identidad.

t
t X
Mptq“ Epe tX q“ Eppe q q“ Gpe q.

¿Qu´e propiedades tiene la f.g.m.? Varias propiedades de esta funci´on pueden
encontrarse con facilidad a partir del siguiente resultado.

Proposici´on 2.16 Sea X una variable aleatoria con funci´on generadora
de momentos Mptq, definida para valores de t en el intervalo p´s, sq para
alg´un s ą 0. Entonces todos los momentos de X existen y Mptq adquiere
la forma de la serie de potencias

8 n
ÿ t n
Mptq“ EpX q. (2.28)
n!
n“0

Demostraci´on. La serie de Taylor de la funci´on exponencial desarrollada
alrededor del cero y evaluada en tX para t Pp´s, sq es

8 n
e tX “ ÿ ptXq .
n!
n“0

Tomando esperanza y suponiendo v´alido el intercambio de esperanza y suma

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