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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 208 — #214
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208 2. Variables aleatorias

Teorema 2.1 (Continuidad de la f.g.m.).Sea X 1 ,X 2 ,... una suce-
ptq.Sea X otra
si´on de variables aleatorias tal que X n tiene f.g.m. M X n
variable aleatoria con f.g.m. M X ptq. Si sucede que para cada t Pp´s, sq,
con s ą 0,
ptq“ M X ptq,
l´ım M X n
nÑ8
entonces en cada punto x en donde F X pxq es continua se cumple que

pxq“ F X pxq. (2.29)
l´ım F X n
nÑ8

A la propiedad establecida en (2.29) se le llama convergencia en distribuci´on
de la sucesi´on de variables X n a la variable X, y esto se escribe como
d
X n Ñ X. En el ´ultimo cap´ıtulo de este texto estudiaremos brevemente
el tema de convergencia de variables aleatorias. Las demostraciones de estos
dos ´ultimos resultados m´as avanzados pueden encontrarse en el texto de
Gut [9]. En el siguiente cap´ıtulo haremos uso de la f.g.m. y sus propiedades
para caracterizar a algunas distribuciones de probabilidad espec´ıficas.

Ejercicios

269. Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidad
como aparece abajo. Encuentre la funci´on generadora de momentos
de X y, a partir de ella, calcule la media y la varianza de X.

# x
1{2 si x “ 1, 2,...
a) fpxq“
0 en otro caso.
# x
2{3 si x “ 1, 2,...
b) fpxq“
0 en otro caso.

270. Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de densidad como
aparece abajo. Encuentre la funci´on generadora de momentosde X y,
a partir de ella, calcule la media y la varianza de X.

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