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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 202 — #208
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202 2. Variables aleatorias

En el siguiente cap´ıtulo haremos uso de la f.g.p. y sus propiedades para
caracterizar a algunas distribuciones de probabilidad espec´ıficas.

Ejercicios

265. Reconstrucci´on de la funci´on de probabilidad. Sea X una varia-
ble aleatoria discreta con valores en el conjunto t0, 1,...u y con funci´on
generadora de probabilidad Gptq. Demuestre que para x “ 0, 1,...
1 pxq
PpX “ xq“ G p0q.
x!

266. Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidad
como aparece abajo. Encuentre la funci´on generadora de probabilidad
de X y, a partir de ella, encuentre la media y la varianza de X.

# x
2{3 si x “ 1, 2,...
a) fpxq“
0 en otro caso.
#
2x
3p1{2q si x “ 1, 2,...
b) fpxq“
0 en otro caso.
267. Algunas propiedades de la f.g.p. Sea X una variable aleatoria dis-
creta con valores en el conjunto t0, 1,...u y con f.g.p. Gptq.Demuestre
las siguientes propiedades de la funci´on generadora de probabilidad.
Recuerde que Gp1´q se define como el l´ımite de la funci´on Gptq cuan-
do t se aproxima al valor 1 por la izquierda. V´ease adem´as el lemade
Abel que aparece en el ap´endice en la p´agina 396.

a) Gp1´q “ 1.
b)Si X tiene esperanza finita entonces

EpXq“ G p1q p1´q.

c)Si X tiene varianza finita entonces

2
VarpXq“ G p2q p1´q ` G p1q p1´q ´ rG p1q p1´qs .

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