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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 206 — #212
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206 2. Variables aleatorias

infinita, tenemos que

Mptq“ Epe tX q
8 n
ptXq
ÿ
“ Ep q
n!
n“0
8 n
t
ÿ n
“ EpX q.
n!
n“0
La finitud de esta suma para cada valor de t en el intervalo p´s, sq implica
n
que EpX q ă 8 para todo n natural. ‚
Por lo tanto, Mptq tiene derivadas continuas de cualquier orden en el inter-
valo p´s, sq, y en consecuencia, se tiene el siguiente resultado que justifica
el nombre para esta funci´on.

Proposici´on 2.17 Sea X una variable aleatoria con funci´on generadora
de momentos Mptq finita en un intervalo p´s, sq con s ą 0. Para cada
n “ 0, 1,...
n
l´ım M pnq ptq“ EpX q.
tÑ0

Demostraci´on. Derivando t´ermino a t´ermino la expansi´on (2.28), es
inmediato comprobar que para cualquier entero n ě 0,

t 2
n
M pnq ptq“ EpX q` tEpX n`1 q` EpX n`2 q`¨ ¨ ¨
2!
Por lo tanto,
n
l´ım M pnq ptq“ EpX q.
tÑ0
‚
Es decir, los momentos de X se encuentran derivando la f.g.m. y tomando
el l´ımite cuando t Ñ 0. De este hecho surge el nombre de esta funci´on.
Demostraremos ahora que la f.g.m. de la suma de dos variables aleatorias
independientes es el producto de las funciones generadoras.

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