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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 203 — #209
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2.12 Funci´ on generadora de momentos 203

268. Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidad

#
1{n si x “ 0, 1,... ,n ´ 1,
fpxq“
0 en otro caso.

n
a) Demuestre que la f.g.p. de X es Gptq“p1 ´ t q{pnp1 ´ tqq.
b) Usando el inciso anterior compruebe que EpXq“pn ´ 1q{2.

2.12. Funci´on generadora de momentos

Otra funci´on bastante ´util que puede calcularse para algunas variables alea-
torias, ahora incluyendo por igual el caso discreto y continuo, y que est´a
relacionada con los momentos de la variable aleatoria, es la siguiente.

Definici´on 2.14 La funci´on generadora de momentos de una variable
aleatoria discreta o continua X es la funci´on Mptq definida como sigue

Mptq“ Epe tX q,

para valores reales de t en donde esta esperanza existe.

En forma breve se le escribe como f.g.m. y es otro ejemplo relevante del
concepto de c´alculo de la esperanza de una funci´on de una variable aleatoria.
tx
En este caso la funci´on es x ÞÑ e . La letra M corresponde al t´ermino
“momentos” y en breve justificaremos su relaci´on con los momentos de la
variable aleatoria. Cuando sea necesario especificar la variable aleatoria en
cuesti´on se le escribe tambi´en como M X ptq. As´ı, en el caso discreto esta
funci´on se calcula como

ÿ tx
Mptq“ e PpX “ xq, (2.26)
x

y en el caso continuo

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