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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 199 — #205
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2.11 Funci´ on generadora de probabilidad 199

Ejemplo 2.31 En el Ejemplo 2.30 que aparece en la p´agina 197 hab´ıamos
considerado una variable aleatoria discreta X con funci´on de probabilidad

#
1{2 x si x “ 1, 2,...
fpxq“
0 en otro caso.

Se hab´ıa encontrado que su f.g.p. es
t
Gptq“ para |t| ă 2,
2 ´ t
y que entonces G pxq ptq“ 2 x! p2 ´ tq ´x´1 . Podemos ahora encontrar los pri-
meros momentos de esta variable aleatoria usando la f.g.p. y las relaciones:

EpXq“ G p1q p1´q “ 2,
2
EpX q´ EpXq“ G p2q p1´q “ 4,
2
3
EpX q´ 3EpX q` 2EpXq“ G p3q p1´q “ 12.
2
3
De donde se obtiene EpXq“ 2, EpX q“ 6y EpX q“ 26. ‚
El siguiente resultado es bastante ´util en las aplicaciones de la f.g.p. y esta-
blece que la f.g.p. de la suma de dos variables independienteses el producto
de las f.g.p.

Proposici´on 2.14 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas e in-
dependientes con funciones generadoras de probabilidad G X ptq y G Y ptq.
Entonces
G X`Y ptq“ G X ptq G Y ptq.

Demostraci´on. Usando la hip´otesis de independencia tenemos que

G X`Y ptq“ Ept X`Y q
X Y
“ Ept t q
X Y
“ Ept q Ept q
“ G X ptq G Y ptq.

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