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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 200 — #206
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200 2. Variables aleatorias

Observe que hemos usado el resultado de la Proposici´on 2.9 relativo a la
independencia de funciones de variables aleatorias independientes. ‚

Es claro, a partir de la definici´on, que dos variables aleatorias con la misma
distribuci´on de probabilidad tienen asociada la misma f.g.p. Demostraremos
a continuaci´on que la relaci´on es uno a uno, es decir, si se tienen dos variables
aleatorias con la misma f.g.p., entonces ´estas tienen la misma distribuci´on
de probabilidad. Este resultado es muy importante pues establece que la
f.g.p. caracteriza de manera ´unica a la distribuci´on de probabilidad, como
se hab´ıa sugerido antes.

Proposici´on 2.15 (Caracterizaci´on).Sean X y Y dos variables alea-
torias discretas con el mismo conjunto de valores t0, 1, 2,...u y con fun-

ciones generadoras de probabilidad G X ptq y G Y ptq, tales que G X ptq“
G Y ptq para t Pp´s, sq con s ą 0. Entonces X y Y tienen la misma
distribuci´on de probabilidad.

Demostraci´on. Supongamos que G X ptq“ G Y ptq para t Pp´s, sq con
s ą 0. Esto significa que las dos series de potencias son iguales en dicho
intervalo. Substrayendo una serie de otra se obtiene una serie id´enticamente
cero, es decir, para cada t P p´s, sq,

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ÿ x
rPpX “ xq´ PpY “ xqs t “ 0.
x“0
Esto s´olo es posible cuando los coeficientes de la serie son todos cero, es
decir, para cada x “ 0, 1,... se tiene que

PpX “ xq“ PpY “ xq.

‚

Ejemplo 2.32 Se dice que la variable aleatoria discreta X tiene distribu-
ci´on Poisson de par´ametro λ ą 0 si su funci´on de probabilidad est´a dada

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