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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 198 — #204
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198 2. Variables aleatorias

El siguiente resultado nos provee de una f´ormula para encontrar los momen-
tos de una variable aleatoria a partir de su f.g.p., suponiendo la existencia
de estos momentos. Para comprender mejor el enunciado, debemos recordar
que la expresi´on Gp1´q se define como el l´ımite de la funci´on Gptq cuando
t se aproxima al valor 1 por la izquierda, es decir, Gp1´q “ l´ım tÕ1 Gptq.

Proposici´on 2.13 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on
generadora de probabilidad Gptq.Siel k-´esimo momento de X existe
entonces
G pkq p1´q “ EpXpX ´ 1q¨ ¨ ¨pX ´ k ` 1qq.

Demostraci´on. Derivando k veces la serie de potencias (2.24) se tiene
que
8
G pkq ptq“ ÿ xpx ´ 1q¨ ¨ ¨ px ´ k ` 1q t x´k PpX “ xq.
x“k
Ahora se toma el l´ımite cuando t Õ 1. El lema de Abel (Ver ap´endice,
p´agina 396) permite el intercambio de este l´ımite con la suma infinita, ob-
teni´endose as´ı el resultado anunciado, es decir,

8
ÿ
G pkq p1´q “ xpx ´ 1q¨ ¨ ¨ px ´ k ` 1q PpX “ xq
x“k
“ EpXpX ´ 1q¨ ¨ ¨pX ´ k ` 1qq.

‚
M´as expl´ıcitamente, el resultado anterior dice, por ejemplo, que

G p1q p1´q “ EpXq,
2
G p2q p1´q “ EpXpX ´ 1qq “ EpX q´ EpXq,
3
2
G p3q p1´q “ EpXpX ´ 1qpX ´ 2qq “ EpX q´ 3EpX q` 2EpXq,
. . .
en donde puede apreciarse concretamente la dependencia entre el n-´esimo
momento de la variable aleatoria y la n-´esima derivada de la f.g.p.

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