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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 197 — #203
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2.11 Funci´ on generadora de probabilidad 197

f´ormula (2.25) establece tambi´en que toda la informaci´on de la distribuci´on
de probabilidad de la variable aleatoria se encuentra encapsulada en el com-
portamiento de Gptq en t “ 0. De esta manera, la f.g.p. proporciona una
representaci´on alterna y equivalente de la funci´on de probabilidad de una
variable aleatoria discreta. V´ease el Ejercicio 267 en la p´agina 202 para una
breve lista de algunas otras propiedades de la f.g.p.

Veremos a continuaci´on un ejemplo de la forma de encontrar la funci´on
generadora de probabilidad para una distribuci´on concreta. Debe advertirse,
sin embargo, que en ocasiones la funci´on Gptq no tiene una expresi´on corta
o compacta como en el ejemplo y que, en general, no estaremos interesados
en graficar la f.g.p. sino en utilizar sus propiedades anal´ıticas.
Ejemplo 2.30 Considere la variable aleatoria discreta X con funci´on de
probabilidad
#
1{2 x si x “ 1, 2,...
fpxq“
0 en otro caso.
En este caso, la variable no toma valores enteros a partir de cero, sino a
partir de uno, pero ello no es impedimento para poder calcular su f.g.p.
Entonces
8
ÿ
x x
Gptq“ t p1{2q
x“1
8
ÿ
x
“ pt{2q
x“1
t
“ si |t| ă 2.
2 ´ t
Puede comprobarse que para valores naturales de x se cumple que

G pxq ptq“ 2 x! p2 ´ tq ´x´1 ,

y se verifica la reconstrucci´on de la funci´on de probabilidad

1
x pxq
PpX “ xq“ 1{2 “ G p0q.
x!
‚

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