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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 196 — #202
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196 2. Variables aleatorias

funci´on equivalente a la funci´on de probabilidad y a la funci´on de distribu-
ci´on definidas antes.

Definici´on 2.13 Sea X una variable aleatoria discreta con posibles va-
lores dentro del conjunto t0, 1, 2,...u. A la funci´on Gptq, definida como
aparece abajo, se le llama la funci´on generadora de probabilidad de X,

8
X ÿ x
Gptq“ Ept q“ t PpX “ xq. (2.24)
x“0

Observe que dicha funci´on est´a definida por lo menos para valores reales
de t dentro del intervalo r´1, 1s, pues en tal caso la suma que aparece
en (2.24) es convergente. En forma breve, a esta funci´on se le escribe como
f.g.p. y puede verse como un ejemplo importante del concepto de c´alculo
de la esperanza de una funci´on de una variable aleatoria. En este caso la
x
funci´on es x ÞÑ t .La letra G proviene del t´ermino “generadora” y, para
indicar que la variable aleatoria X es la asociada, se le escribe tambi´en
como G X ptq. As´ı, la funci´on Gptq se define como una serie de potencias en
t con coeficientes dados por los valores de la funci´on de probabilidad. Estos
coeficientes pueden reconstruirse nuevamente a partir de la expresi´on de
la funci´on Gptq derivando y evaluando en cero, es decir, no es complicado
verificar el siguiente resultado, el cual se pide demostrar en la secci´on de
ejercicios.

Proposici´on 2.12 Sea X una variable aleatoria discreta con valores en
el conjunto t0, 1,...u y con funci´on generadora de probabilidad Gptq.
Para x “ 0, 1,...
1
PpX “ xq“ G pxq p0q. (2.25)
x!

En donde G pxq ptq denota la derivada de orden x de Gptq. Esto justifica el
nombre dado a esta funci´on, pues a partir de ella se pueden generar las
probabilidades de que la variable aleatoria tome sus distintos valores. La

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