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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 188 — #194
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188 2. Variables aleatorias

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258. Distribuci´on Rayleigh . Se dice que una variable aleatoria continua
X tiene distribuci´on Rayleigh de par´ametro σ ą 0 si tiene la siguiente
funci´on de densidad
x
2
# ´x {2σ 2
e si x ą 0,
σ 2
fpxq“
0 en otro caso.
Lo anterior se escribe como X „ Rayleighpσq, en donde a σ se le conoce
como par´ametro de escala. Esta distribuci´on es un caso particular de
?
2
la distribuci´on Weibullpα, λq cuando α “ 2y λ “ 1{ 2σ , la cual se
estudiar´a m´as adelante. Para la distribuci´on Rayleigh, arriba indicada,
demuestre que:
a
a) EpXq“ σ π{2.
2
2
b) EpX q“ 2σ .
2
c) VarpXq“ σ p2 ´ π{2q.
$ n n{2
’ σ 2 pn{2q! si n es par,
&
n
d) EpX q“ ? n!
% σ n π si n es impar.
’
2 n{2 ppn ´ 1q{2q!
2.9. Cuantiles

Los cuantiles son otras caracter´ısticas num´ericas de las distribuciones de
probabilidad y se definen de la siguiente forma: sabemos que toda funci´on
de distribuci´on Fpxq crece de manera continua o a trav´es de saltos, si p es
una probabilidad estrictamente positiva, entonces al valor m´as peque˜no x
tal que Fpxq alcanza el nivel p, o un nivel superior, se le llama cuantil p de
la distribuci´on y se le denota por c p . Tenemos as´ı la siguiente definici´on.

Definici´on 2.11 Sea p Pp0, 1s.Elcuantil p de una variable aleatoria o
de su funci´on de distribuci´on Fpxq es el n´umero c p m´as peque˜no, cuando
existe, tal que
Fpc p q ě p. (2.23)

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John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh (1842–1919), f´ısico ingl´es.

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