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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 187 — #193
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2.8 Momentos 187

252. Encuentre el n-´esimo momento central de una variable aleatoria con-
tinua X con la siguiente funci´on de densidad.

$
’ x si 0 ă x ă 1,
&
fpxq“ 2 ´ x si 1 ď x ă 2,
’
0 en otro caso.
%
253. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on uniforme en el interva-
lo pa, bq ysea n cualquier n´umero natural. Vea la definici´on de esta
distribuci´on en la p´agina 259. Encuentre los siguientes momentos.
n
a) EpX q.
n
b) EpX ´ µq .
254. Funci´on de probabilidad sim´etrica. Una funci´on de probabilidad
fpxq es sim´etrica respecto de a si fpa ` xq“ fpa ´ xq para cualquier
n´umero real x.Sea X una variable aleatoria con funci´on de probabi-
lidad sim´etrica respecto de a. Demuestre las siguientes afirmaciones
suponiendo esperanza finita en el primer inciso y n-´esimo momento
finito en el segundo inciso.

a) EpXq“ a.
n
b) EpX ´ aq “ 0, para n “ 1, 3, 5,...
255. Sea X una variable aleatoria con segundo momento finito. Demuestre
que
2
2
0 ď E pXq ď EpX q.
256. Sea X una variable aleatoria con tercer momento finito. Demuestre o
proporcione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

2
a) EpXq ď EpX q.
2
3
b) EpX q ď EpX q.
257. Demuestre que toda variable aleatoria acotada tiene todos sus mo-
mentos finitos.

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