Page 193 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 183 — #189
✐ ✐

2.7 Varianza 183

246. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on Fpxq como
aparece abajo, en donde 0 ď a ď 1, λ 1 ą 0y λ 2 ą 0 son constantes.
Encuentre la media y la varianza de X.
#
a p1 ´ e ´λ 1 x q`p1 ´ aqp1 ´ e ´λ 2 x q si x ą 0,
Fpxq“
0 en otro caso.
247. Una distribuci´on uniforme. Sean a y ℓ dos constantes con ℓ ą 0.
Encuentre la esperanza y la varianza de una variable aleatoria con
funci´on de densidad
1
$
si |x ´ a| ă ℓ,
&
fpxq“ 2ℓ
0 si |x ´ a| ě ℓ.
%
248. Sea Z una variable aleatoria con media 0 y varianza 1. Defina las
variables X “ Z ´ 1y Y “ Z ` 1. Demuestre que EpXY q“ 0.
249. Sea X una variable aleatoria discreta tal que VarpXq“ 0. Demuestre
que X es constante.
Nota. Compare este enunciado con el resultado m´as general que apa-
rece en el Ejercicio 512, en la p´agina 362.

250. Distribuci´on logar´ıtmica. Se dice que la variable aleatoria discreta
X tiene distribuci´on logar´ıtmica de par´ametro p, con 0 ă p ă 1, si su
funci´on de probabilidad es la siguiente:
1 1
$
& ´ p x si x “ 1, 2,...
fpxq“ logp1 ´ pq x
0 en otro caso.
%
Demuestre que:
a) fpxq es, efectivamente, una funci´on de probabilidad.
1 p
b) EpXq“ ´ .
logp1 ´ pq 1 ´ p
1 p
2
c) EpX q“´ .
logp1 ´ pq p1 ´ pq 2
1
d) VarpXq“ ´ 2 p rp ` logp1 ´ pqs.
2
p1 ´ pq log p1 ´ pq

✐ ✐

✐ ✐