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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 185 — #191
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2.8 Momentos 185

la dispersi´on de los valores que toma la variable aleatoria. El tercer mo-
mento est´a relacionado con la simetr´ıa de la correspondiente distribuci´on
de probabilidad. En general, no se conoce una interpretaci´on para cada uno
de los momentos de una variable aleatoria, en el mismo sentidoque nose
conoce una interpretaci´on para cada una de las derivadas de una funci´on
infinitamente diferenciable.

Dada la unicidad de la suma o integral correspondiente, el n-´esimo momen-
to de una variable aleatoria, si existe, es ´unico. As´ı, cada distribuci´on de
probabilidad genera una ´unica colecci´on de momentos, suponiendo su exis-
tencia. En el as´ı llamado problema de los momentos se plantea encontrar
condiciones bajo las cuales una sucesi´on de n´umeros constituyen los mo-
mentos de una distribuci´on de probabilidad. En estos casos, la distribuci´on
de probabilidad puede representarse en t´erminos de esta sucesi´on num´erica.

Por otro lado, tambi´en debemos se˜nalar que los momentos pueden no existir
y que, en caso de que existan, en general no es de esperarse que se pueda
encontrar una expresi´on compacta para ellos. En la secci´on 2.12 definire-
mos la funci´on generadora de momentos, la cual nos permitir´a calcular los
momentos de una variable aleatoria de una forma alternativa al c´alculo de
la suma o integral de la definici´on. Veamos un ejemplo del c´alculo de los
momentos.

Ejemplo 2.25 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de den-
sidad
$
’ 1 ` x si ´ 1 ă x ă 0,
&
fpxq“ 1 ´ x si 0 ď x ă 1,
’
0 en otro caso.
%
Despu´es de llevar a cabo las integrales correspondientes puede comprobarse
que el n-´esimo momento de X es

ż 0 ż 1 n
n n n 1 `p´1q
EpX q“ x p1 ` xq dx ` x p1 ´ xq dx “ .
´1 0 pn ` 1qpn ` 2q

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