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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 182 — #188
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182 2. Variables aleatorias

d) VarpX ´ Y q“ VarpXq´ VarpY q.

e)Si EpXq existe entonces VarpXq existe.
f ) Si VarpXq existe entonces EpXq existe.
g) Si VarpXq“ 0 entonces X “ 0.
h) Si VarpXq“ VarpY q entonces X “ Y .

i) VarpX ` Y q ď VarpXq` VarpY q.

243. Media muestral. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independien-
2
tes e id´enticamente distribuidas con media µ y varianza σ .La media
muestral se define como la variable aleatoria

n
1 ÿ
¯
X “ X i .
n
i“1
Demuestre que:
¯
a) EpXq“ µ.
2
¯ 2
2
b) EpX q“ σ {n ` µ .
¯
2
c) VarpXq“ σ {n.
244. Varianza muestral. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias indepen-
2
dientes e id´enticamente distribuidas con media µ y varianza σ .La
varianza muestral se define como la variable aleatoria
n
1 ÿ
2 ¯ 2
S “ pX i ´ Xq .
n ´ 1
i“1
2
2
Demuestre que EpS q“ σ .
245. Sean X y Y dos variables aleatorias con varianza finita. Demuestre
que

VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q ðñ EpXY q“ EpXq EpY q.

Recordemos que, en general, cualquiera de estas dos identidades no
implica que X y Y son independientes.

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