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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 181 — #187
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2.7 Varianza 181

238. Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad como aparecea
continuaci´on, en donde a y b son dos constantes.

# 2
ax ` bx si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.
Determine el valor de las constantes a y b de tal forma que

a) la esperanza sea m´ınima.
b) la varianza sea m´ınima.

239. Otras propiedades de la varianza. Demuestre que

2
a) VarpXq ď EpX q.
b) Varpa ´ Xq“ VarpXq, a constante.
2
c) VarpaX ` bq“ a VarpXq, a, b constantes.
d) VarpX ` Y q“ VarpXq` Var(Y) ` 2 ErpX ´ EpXqqpY ´ EpY qqs.

240. Sea X una variable aleatoria con media y varianza finita. Defina la
2
funci´on gpxq“ ErpX ´ xq s.Demuestre que:
2
a) gpxq“ VarpXq`px ´ EpXqq .
b) gpxq tiene un m´ınimo en x “ EpXq y que ese valor m´ınimo es
VarpXq.

241. Sea X una variable aleatoria arbitraria con posibles valores en elin-
tervalo ra, bs.
a)Demuestre que a ď EpXq ď b.
2
b)Demuestre que 0 ď VarpXq ď pb ´ aq {4.
c)Encuentre X tal que VarpXq es m´axima.

242. Demuestre o proporcione un contraejemplo.

a) VarpVarpXqq “ 0.
b) VarpEpXqq “ EpXq.
c) EpVarpXqq “ VarpXq.

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