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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 179 — #185
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2.7 Varianza 179

hip´otesis.

2 2
VarpX ` Y q“ EpX ` Y q ´ E pX ` Y q
2 2 2
“ EpX ` 2XY ` Y q´pEpXq` EpY qq
2 2
“ EpX q` 2EpXY q` EpY q
2 2
´E pXq´ 2EpXqEpY q´ E pY q
2 2 2 2
“pEpX q´ E pXqq ` pEpY q´ E pY qq
“ VarpXq` VarpY q.

‚

El rec´ıproco del resultado anterior es, en general, falso, es decir, la condici´on
VarpX `Y q“ VarpXq`VarpY q no es suficiente para concluir que X y Y son
independientes. Un ejemplo de esta situaci´on se muestra en el Ejercicio 479,
en la p´agina 338, el cual requiere del concepto de distribuci´on conjunta de
variables aleatorias que estudiaremos con m´as detalle en el cap´ıtulo sobre
vectores aleatorios.

Ejercicios

235. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria X con distribu-
ci´on:
#
1{n si x “ 1, 2,... ,n,
a) fpxq“
0 en otro caso.
# x
1{2 si x “ 1, 2,...
b) fpxq“
0 en otro caso.
$
’ 1{3si 0 ă |x| ă 1,
&
c) fpxq“ 1{6si 1 ă |x| ă 2,
’
0 en otro caso.
%
# ´x
e si x ą 0,
d) fpxq“
0 en otro caso.

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