Page 188 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 178 — #184
✐ ✐

178 2. Variables aleatorias

El inciso p4q se sigue del siguiente an´alisis,

2
2
VarpX ` cq“ ErpX ` cq´ EpX ` cqs “ EpX ´ EpXqq “ VarpXq.

Para demostrar la propiedad p5q se desarrolla el cuadrado en la definici´on
de varianza y se usa la propiedad de linealidad de la esperanza,

2
VarpXq“ EpX ´ EpXqq
2 2
“ EpX ´ 2XEpXq` E pXqq
2 2
“ EpX q´ 2EpXqEpXq` E pXq
2
2
“ EpX q´ E pXq.
Finalmente, para demostrar la propiedad p6q, es suficiente dar un ejemplo.
Puede tomarse el caso Y “ X, en general y por lo demostrado antes, no se
cumple que Varp2Xq“ 2 VarpXq. ‚
De estas propiedades generales se obtiene, en particular, que la varianza
es siempre una cantidad no negativa y que no cumple la propiedad de li-
nealidad, pues en general no separa sumas y cuando aparecen constantes
como factores, las constantes se separan de la varianza elev´andolas al cua-
drado. Otras propiedades generales se encuentran en el Ejercicio 239, en la
p´agina 181. Veamos ahora una f´ormula para el c´alculo de la varianza de
la suma de dos variables aleatorias bajo la hip´otesis de independencia. Es-
ta hip´otesis adicional har´a que aparezca una igualdad en la propiedad p6q
reci´en demostrada.

Proposici´on 2.11 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
y con varianza finita. Entonces

VarpX ` Y q“ VarpXq` VarpY q.

Demostraci´on. Usaremos la propiedad de linealidad de la esperanza y
el hecho de que EpXY q“ EpXqEpY q,pues X y Y son independientes por

✐ ✐

✐ ✐