Page 187 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 177 — #183
✐ ✐

2.7 Varianza 177

En un ejemplo previo hab´ıamos encontrado que la esperanza de esta variable
aleatoria es µ “ 2{3. Por lo tanto,

ż 8 ż 1
2 2
VarpXq“ px ´ µq fpxq dx “ px ´ 2{3q 2xdx “ 1{18.
´8 0
‚

A continuaci´on demostraremos algunas propiedades generales de la varianza,
y siendo ´esta una esperanza, se har´a uso de lo estudiado antes sobre la
esperanza de una variable aleatoria.

Proposici´on 2.10 Sean X y Y dos variables aleatorias con varianza
finita y sea c una constante. Entonces

1. VarpXq ě 0.

2. Varpcq“ 0.
2
3. VarpcXq“ c VarpXq.
4. VarpX ` cq“ VarpXq.

2
2
5. VarpXq“ EpX q´ E pXq.
6. En general, VarpX ` Y q‰ VarpXq` VarpY q.

Demostraci´on. El inciso p1q es evidente a partir de la definici´on de
varianza pues en ella aparece una suma o integral de t´erminos no negativos.
Para el inciso p2q, la constante c es una variable aleatoria con un ´unico valor,
2
de modo que Epcq“ c y entonces Varpcq“ Epc ´ cq “ 0. Para el inciso p3q
tenemos que

2
VarpcXq“ EpcX ´ EpcXqq
2
“ EpcX ´ cEpXqq
2 2
“ c EpX ´ EpXqq
2
“ c VarpXq.

✐ ✐

✐ ✐