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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 176 — #182
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176 2. Variables aleatorias

As´ı, observe que se necesita conocer la esperanza de X para calcular su
varianza. Es interesante observar tambi´en que la varianza se puede escribir
en una sola expresi´on como sigue:
2
VarpXq“ EpX ´ µq .
2
Esto corresponde a la esperanza de la funci´on cuadr´atica gpxq“px ´ µq
aplicada a una variable aleatoria X con esperanza µ. La varianza es una
medida del grado de dispersi´on de los diferentes valores tomados por la va-
2
riable. Se le denota regularmente por la letra σ (sigma cuadrada). A la ra´ız
cuadrada positiva de la varianza, esto es σ, se le llama desviaci´on est´andar.
Como en el caso de la esperanza, la anterior suma o integral puede no ser
convergente y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene varianza
finita. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.23 (Caso discreto) Calcularemos la varianza de la variable
aleatoria discreta X con funci´on de probabilidad dada por la siguiente tabla.

x ´1 0 1 2

fpxq 1{8 4{8 1{8 2{8
Recordemos primeramente que, por c´alculos previos, µ “ 1{2. Aplicando la
definici´on de varianza tenemos que
2
ÿ
VarpXq“ px ´ µq fpxq
x
2 2
“p´1 ´ 1{2q p1{8q` p0 ´ 1{2q p4{8q
2 2
`p1 ´ 1{2q p1{8q` p2 ´ 1{2q p2{8q
“ 1.

‚

Ejemplo 2.24 (Caso continuo) Calcularemos la varianza de la variable
aleatoria continua X con funci´on de densidad

#
2x si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.

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