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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 175 — #181
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2.7 Varianza 175

Se cumple entonces la identidad EpXY q“ EpXqEpY q y sin embargo
X y Y no son independientes. Demuestre ambas afirmaciones.

x ´1 0 1
fpxq 1{3 1{3 1{3

233. Sea X una variable aleatoria no negativa con funci´on de distribuci´on
Fpxq, funci´on de densidad fpxq y con esperanza finita µ ą 0. Demues-
tre que las siguientes funciones son de densidad.

a) gpxq“ 2p1 ´ Fpxqqfpxq.
b) gpxq“ p1 ´ Fpxqq{µ.

234. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes y sean gpxq y hpyq
dos funciones tales que el producto gpXq hpY q es una variable aleatoria
con esperanza finita. Demuestre que
Er gpXq hpY qs “ ErgpXqs ¨ ErhpY qs.

2.7. Varianza

Otra caracter´ıstica num´erica importante asociada a las variables aleatorias
se llama varianza, se denota por VarpXq y se calcula de la forma siguiente.

Definici´on 2.9 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de
probabilidad fpxq. La varianza de X se define como el n´umero

ÿ 2
VarpXq“ px ´ µq fpxq,
x
cuando esta suma es convergente y en donde µ es la esperanza de X.
Para una variable aleatoria continua X con funci´on de densidad fpxq se
define
ż 8
2
VarpXq“ px ´ µq fpxq dx,
´8
cuando esta integral es convergente.

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